Select language:
  • Az
  • Ru
  • En
  • De
Official facebook page

Bibliography of research writings of Hamlet Isayev in Mathematics

(из справки, подготовленной математиками)

1.Спектральная теория несамосопряженных операторов

Исаевым Г. А. получены важные результаты о полноте системы собственных и присоединенных векторов несамосопряженных оператор-функций.
Ему принадлежит изящный метод оценки резольвенты операторных пучков на основе распределения корней квадратичной формы. Им выделены операторные пучки, являющиеся аналогами операторов, близких к самосопряженным по «мере» квадратичной формы и доказаны для них теоремы о кратной полноте в смысле М. В. Келдыша. Г. А. Исаевым исследован трудный вопрос о базисности и кратной полноте определенной части собственных и присоединенных элементов несамосопряженных полиномиальных операторных пучков, а также гиперболических оператор-функций. Представляют самостоятельный интерес установленные Исаевым Г. А. для изучения этих вопросов результаты о разрешимости нелинейных операторных уравнений в алгебре непрерывных операторов. Этими исследованиями Исаеву Г. А. удалось значительно усилить фундаментальные результаты В. Б. Лидского, М. Г. Крейна, H. Langer, A. Friedman, M. Shinbrot и других известных отечественных и зарубежных математиков в области спектральной теории несамосопряженных операторов.

2. Теория числовых областей операторов

Теория числовых областей операторов тесно связана также со спектральным анализом и другими разделами математики. Исаеву Г. А. принадлежат оригинальные результаты в области теории числовых областей как в конечномерном, так и в бесконечномерном пространствах. Следует отметить, что эта область функционального анализа довольно популярна на Западе и начинает привлекать внимание у нас в стране, в чем немало заслуг и Исаева Г. А. Им изучена числовая область голоморфных оператор-функций и систем голоморфных оператор-функций от нескольких комплексных переменных и даны интересные приложения к спектральной теории несамосопряженных операторов. Приоритет Исаева Г. А. в этой области признан и зарубежными специалистами / см., например, монографию I. Gohberg, P. Lancaster, L. Rodman, Matrix polynomials, Acad. Press, 1983/. Известно, что геометрическое описание числовой области линейных операторов, отличных от нормальных, известно лишь в двумерном случае. «Метод спуска», разработанный Исаевым Г. А. и его учениками А. Абдуррахмановым, О. А. Авшалумовой, позволил дать описание числовой области в проивольных конечномерных пространствах с точностью до явно выписываемой гомотопии на языке элементов матричного представления. Этот своего рода единственный результат нашел применение в теории локализации собственных значений матриц.
Дано также описание в терминах гладкостных свойств границы числовой области одного класса операторов в гильбертовом пространстве, содержащего все компактные операторы (совместно с учеником Т. Кулиевым).

3. Общая теория многопараметрических спектральных задач

Многопараметрическая спектральная теория – существенно новый многомерный аналог классической спектральной теории опера-торов; первые результаты о многопараметрических дифферен-циальных операторах были получены Г. Ламе, Ф. Клейном, Д. Гильбертом и др. Настоящее развитие этой теории приходится к 70-м годам, начало которому положено Ф. Аткинсоном. В Советском Союзе эту теорию впервые начал разрабатывать Исаев Г. А. Начиная с 1975 года, им проделана большая работа по развитию этой новой и важной области функционального анализа и математической физики. Многие понятия этой теории введены и изучены Исаевым Г. А. Подробно исследована разделяющая система операторов, действующих на тензорном произведении исходных пространств, тщательно изучены вопросы, связанные с перестановочностью этой системы.
Многие из основных объектов многопараметрической спектральной теории охарактеризованы им на языке разделяющей системы операторов. Подробно изучены условия определенности многопараметрических задач посредством тензорных детерминантов, в частности, решена (совместно с А. Аслановым) задача П. Байдинга / Binding P., Proc. Roy. Soc. Edinb. 93A (1982), 47-61/. Для самосопряженных многопараметрических задач с неограниченными операторами получен аналог спектральных разложений. Более того, Исаевым Г. А. и его учениками (А. Аслановым и др.) предложена важная процедура эффективного построения спектральных мер операторов разделяющей системы, а также их совместной спектральной меры. Заметим, что этот вопрос ранее был решен лишь для одного класса двупараметрических задач и в общем случае более тридцати лет оставался открытым. В совместной работе Исаева Г. А. и канадского математика П. Брауна / P. Browne / заложены основы теории расширений симметрических многопараметрических спектральных задач.

4. Многопараметрическая спектральная теория дифференциальных операторов

Сильные результаты получены Исаевым Г. А. в области многопараметрического спектрального анализа дифференциальных операторов. К подобным вопросам приводит попытка решения многочисленных краевых задач математической физики методом разделения переменных, а также задачи теории высших трансцендентных функций. Г. А. Исаевым совместно с его учеником А.Аллахвердиевым получены интересные новые многопараметри-ческие осциляционные теоремы, исследован вопрос об индексах дефекта многопараметрических уравнений Штурма-Лиувилля. Предложенный им подход также оказался адекватным при постановке и решении задач теории расширений многопарамет-рических систем операторов. Особенно следует остановиться на теореме Исаева Г. А. о разложении по собственным функциям многопараметрических сингулярных дифференциальных опера-торов произвольного порядка. В частном случае многопара-метрических уравнений Штурма-Лиувилля на всей оси эта теорема дает решение задачи, постановленной П. Брауном в 1974 году / P. Browne, Lect. Not. Math., №415, 81-94/.

5. Теория совместных спектров и ее приложения.

Теория совместных спектров, центральный объект которой – спектр Дж. Тейлора и многомерное голоморфное функциональное исчисление, создана в основном в 70-х годах. Эта теория и многопараметрическая спектральная теория развивались параллельно и независимо. Именно в работах Исаева Г. А. и его учеников (А. Файнштейн и др.) эти две многомерные теории объединены под общую многопараметрическую спектральную теорию. Спектр многопараметрических систем операторов (введенный и изученный Исаевым Г. А.) удалось свести к вопросам коцепных комплексов Кошуля разделяющего семейства операторов. Проведенное при этом глубокое исследование показало, что требуемые условия необходимы и достаточны для совпадения со спектром Дж. Тейлора разделяющей системы операторов. Эта связь позволила также исследовать существенный спектр, фредгольмовость и индекс многопараметрических систем операторов, связанных с конечномерностью когомолий соответствующего коцепного комплекса Кощуля.
Интерпретация различных многопараметрических спектральных задач в терминах комплекса Кощуля значительно продвинула вперед обе теории и она несомненно найдет еще ряд интересных приложений.

Slideshow
Google